Категория
Астрономия
Тип
реферат
Страницы
2 стр.
Дата
29.12.2013
Формат файла
.html — Html-документ
Архив
950621.zip — 1.76 kb
  • rvnjannja-v-povnix-diferencalax_950621_1.html — 4.16 Kb
  • Readme_docus.me.txt — 125 Bytes
Оцените работу
Хорошо  или  Плохо


Текст работы


Рівняння в повних диференціалах 1. Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння

/>

є повним диференціалом деякої функції />, тобто

/>,

і, таким чином, рівняння приймає вигляд />то рівняння називається рівнянням вповних диференціалах. Звідси вираз

/>

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних ди­ференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

/>

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді

/>

Звідси />де /> -невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по />і прирівняємо />

/>

Звідси

/>.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд

/>

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал

/>,

то/>можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку/>і точку із змінними координатами />. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла

/>

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

/>.

2. Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння

/>

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція />така, що рівняння

/>

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та дос­татньою умовою цього є рівність

/>,

або

/>.

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції />одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції
/> . Задача ін­тегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію
/>, наприклад
/>де
/> -відома функція. В цьому випадку одержуємо



Ваше мнение



CAPTCHA