Категория
Информатика
Тип
реферат
Страницы
7 стр.
Дата
20.06.2014
Формат файла
.html — Html-документ
Архив
1033512.zip — 4.31 kb
  • metod-polovinnogo-delenija-2_1033512_1.html — 15.12 Kb
  • Readme_docus.me.txt — 125 Bytes
Оцените работу
Хорошо  или  Плохо


Текст работы


--PAGE_BREAK--2.2. МЕТОД ХОРД


Метод хорд является одним из распространенных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В литературе он также встречается под названиями «метода ложного положения» (regulafalsi), «метода линейного интерполирования» и «метода пропорциональных частей».


Пусть дано уравнение f(х) = 0, где f(х) – непрерывная функция, имеющая в интервале [а, b] производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [а, b], т.е. f(a)-f (b) < 0.


Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [а, b] дуга кривой у = f (x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ох.


Ранее мы рассмотрели четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных.


Рассмотрим случаи, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т. е, f'(х) ∙ f'' (х) > 0.


Пусть, например, f(a) < 0, f(b) > 0, f'(х) > 0, f''(х) > 0 (рис. 3.18, а). График функции проходит через точки А0(a; f(a)), В(b; f(b))- Искомый корень уравнения f(х) = 0 есть абсцисса точки пересечения графика функции у = f(х) с осью Ох. Эта точка нам неизвестна, но вместо нее мы возьмем точку x1 пересечения хорды А и В с осью Ох. Это и будет приближенное значение корня.


Уравнение хорды, проходящей через точки А0и В, имеет вид



Найдем значение х = х1, для которого у = 0:



Эта формула носит название формулы метода хорд. Теперь корень ξ находится внутри отрезка [x1, b]. Если значение корня х1 нас не устраивает, то его можно уточнить, применяя метод хорд к отрезку [х1, b].



Рис


Соединим точку А1 (x1; f(x1) с точкой В (b; f (b)) и найдем х2 – точку пересечения хорды А1В с осью Ох:



Продолжая этот процесс, находим



и вообще



Процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим приближенный корень с заданной степенью точности.


По приведенным выше формулам вычисляются корни и для случая, когда f(а) > 0, f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) < 0 (рис. 3.18, б).


Теперь рассмотрим случаи, когда первая и вторая производные имею разные знаки, т.е. f'(x) ∙ f'(x) < 0.


Пусть, например, f(a) > 0, f(b) < 0, f'(х) < 0, f''(х) > 0 (рис. 3.19, а). Соединим точки A (a; f (а)) и В0(b; f(b)) и запишем уравнение хорды, проходящей через А и B:



Найдем х1, как точку пересечения хорды с осью Ох, полагая у = 0:



Корень ξ теперь заключен внутри отрезка [a, x1]. Применяя меч од хорд к отрезку [а, x1], получим



и вообще



По этим же формулам находится приближенное значение корня и для случая, когда f(а) < 0, f(b)>0, f'(х) > 0, f''(х) < 0 (рис. 3.19, б).


Итак, если f'(х) ∙ f"(х) > 0, то приближенный корень вычисляется по формулам (1) и (2); если же f(х) ∙ f"(x) < 0, то – по формулам (3) и (4).


Однако выбор тех или иных формул можно осуществить, пользуясь простым правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.


Если f(b) ∙ f'' (х) > 0, то неподвижен конец b, а все приближения к корню ξ лежат со стороны конца а [формулы (1) и (2)]. Если f(а)×f''(x) > 0. то неподвижен конец а, а все приближения к корню ξ лежат со стороны конца b[формулы (3) и (4).


    продолжение


--PAGE_BREAK--2.3. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)


Пусть корень уравнения
f(х) = 0 отделен на отрезке [



Ваше мнение



CAPTCHA